Velocidad y Aceleracion

Debido a que el movimiento es inherente a las máquinas, las cantidades cinemáticas como la velocidad y la aceleración son de importancia para la ingeniero en el análisis y diseño de los componentes de las máquinas. Los valores cinemáticos en las máquinas han alcanzado magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotación, que una vez se consideraron altas a un
valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.

Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las ruedas de turbinas pequeñas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.

El tamaño de los rotores y su velocidad de rotación se relacionan en tal forma que a menor tamaño mayor será la velocidad de rotación permitida. Una cantidad más básica en los rotores es la velocidad periférica, la cual depende de la velocidad de rotación y el tamaño (V = ωR). Las velocidades periféricas en las turbomáquinas están llegando a valores de 50 000 a 100 000 pies/min. Las velocidades periféricas en las armaduras eléctricas (10 000 pies/min) y en los cigüeñales automotrices (3 000 pie/min) son más bajas que en los rotores aeronáuticos.

Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayor estasas de productividad en las máquinas que se emplean para impresión, fabricación de papel, hilado, computación automática, empaque, embotellado, maquinado automático y muchas otras
aplicaciones.

La aceleración centrípeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de
rotación y del tamaño (An = (ω2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se están aproximando a valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que pueden compararse con la aceleración de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que soportan los pistones automotrices.

La aceleración se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su
vez con el esfuerzo y la deformación, que pueden o no ser críticos en una pieza de una máquina,
dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una máquina está limitada en última
instancia por las propiedades de los materiales de que está formada y las condiciones que
influyen en las propiedades de los materiales empleados.

Las altas temperaturas que se dan por la compresión de los gases y la combustión de los combustibles, junto con las que se dan como resultado de la fricción, son una condición que influye en la resistencia de los materiales de las máquinas de potencia de alta velocidad. El grado en que se eleva la temperatura también depende de las medidas que se tomen para la transferencia de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.

El buen diseño de una máquina depende de la explotación del conocimiento en los campos de la
dinámica, el análisis de esfuerzos, la termodinámica, la transmisión de calor y las propiedades de
los materiales.

Sin embargo, el propósito de este capítulo es estudiar solamente las relaciones cinemáticas en las
máquinas.

Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores
cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas
( V = ωR, An = ω2R, At = αR ).

Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son
combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miembros
oscilatorios y reciprocantes.

Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las
muchas posiciones relativas geométricas que se pueden dar, el análisis cinemático de un mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor. Los principios y métodos que se ilustran en este capítulo son principalmente los que se emplean
para el análisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores, barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.

En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son
cuerpos rígidos en que las distancias entre dos partículas dadas de un eslabón móvil, permanecen fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen
dentro de otra categoría y se analizan como miembros vibratorios.

La mayoría de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden
analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partículas se mueven en planos
paralelos se dice que están en movimiento plano o coplanarios.

El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las
aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón.

Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede expresarse en términos de los
desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de líneas que
se mueven con el eslabón rígido.

Existen muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, losque se emplean comúnmente son:

a) análisis de velocidad por centros instantáneos.

b) análisis de velocidad por método de resolución.

c) análisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea
analítica o gráficamente por medio de polígonos de velocidad y aceleración (método de
imagen).

d) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y
aceleración de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema móvil de
coordenadas

e) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.
De los métodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto físico del
problema. El quinto método que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse
demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos se pierden rápidamente.
Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto método se presentan para soluciones por
computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo
completo. Particularmente en este capítulo se analizaran los tres primeros métodos.

Velocidades de los centros instantáneos

Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en él será en una
dirección perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al radio rp y tiene una magnitud vp = ω2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =ω2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se produce: vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp ).

Cuando la velocidad de una punto sobres un cuerpo es conocida y representados por un vector,
muy frecuentemente se desea encontrar gráficamente la velocidad de otro punto sobre el mismo
cuerpo, en la fig. 5.1 tómese en cuenta que la velocidad del punto P es conocida y representada
por el vector vp se desea encontrar la velocidad del punto Q. Con O como centro y con el radio
OP, o rp, se traza un arco cortando OQ, alargado, si el necesario, hasta S. Como S y P están a la
misma distancia del centro de rotación, sus velocidades son de igual magnitud, pero de dirección
diferente. El vector ST, trazando perpendicular a OS, se iguala a la longitud del vector Vp. Este
es marcado V´p, ya que representa la magnitud de la velocidad de P, pero no en su dirección
correcta, trazando la línea OT y el vector QW perpendicular a OQ o rQ obtenemos los triángulos
semejantes OQW y OST. De donde:

QW/ST = OQ/OS o VQ/Vp= rQ/rp

Que comparada con la ecuación 5.1, QW representa la velocidad del punto Q en la misma
magnitud que ST representa la velocidad del punto P.

El mismo resultado podría obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X
en la línea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos otra vez dos triángulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector XZ es marcado V´Q ya que es la magnitud Vq, pero no su dirección correcta. Girando este vector alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado solamente condiciones instantáneas, esta construcción grafica es aplicable cuando el punto sobre el que gira el cuerpo es un centro instantáneos o un centro permanente.

Puntos en diferentes eslabones.

Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabónde un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabón. Comúnmente se dispone de varios métodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos métodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee un método para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos métodos.

Antes de esbozar los métodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantáneos
como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabón fijo 1 y por lo tanto tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12 O13 y O 14.

Velocidades angulares

Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades angulares instantáneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la distancias desde su centro instantáneo común, a los centros instantáneos sobre los cuales están pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantáneos O21O23 y O31 se consideran localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy.

O23 es un punto común para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantánea es igual a ω2/1(O23O21). Como es también un punto en 3, se está movimiento con una velocidad lineal ω3/1(O23O31).

Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse gráficamente. La construcción queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que ω2/1 es conocida y que ω3/1 se tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ángulo conveniente) a O31 O21 con una longitud que represente a ω2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta líneas hasta encontrar O21M, paralela a O31L. Por triángulos semejantes

O21M/O31L= O23O21/O23O31 = ω3/1/ω2/1

Por lo tanto, O21M representa a ω3/1 a la misma escala que O31L representa a ω2/1. Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en la misma extensión de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.

Ejemplo. Las fig muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(ω2/1) es conocida, encontrar gráficamente la velocidad angular del eslabón 4(ω4/1).

Construcción. Encuentren los tres centro instantáneos de los eslabones 1, 2 y 4. Estos centros coinciden sobre una misma línea recta según el teorema de Kennedy. Dibujemos el triángulo LO41O24 en el cual O41L, perpendicular a O41O24, representa la velocidad angular conocida ω4/1 requerida.

Método de imagen

Consideraremos ahora un método gráfico para determinar las velocidades y aceleraciones de puntos en los mecanismos, el cual ha probado tener una aplicación muy amplia y una importancia práctica muy considerable. Este método generalmente conocido como el “método de imagen”, esta descrito en Kinematik del profesor Burnester. La construcción en un diagrama de aceleración, comúnmente requiere la determinación anterior de cierta velocidades; por esto discutiremos en primer lugar este último problema.

*La imagen de velocidad

Si hay dos puntos A y B sobre un cuerpo con movimiento coplanario, entonces la velocidad absoluta de B es igual a la suma vectorial de la velocidad absoluta de A y la velocidad relativa de B con respecto a A. El método “imagen de velocidad” esta basado en lo anteriormente establecido. Expresado vectorialmente :

VB = VA + VB/A

Consideremos un eslabón como el ilustrado en la Fig , pivoteando en O y conteniendo tres puntos A, B y C y girando en el sentido de la manecillas del reloj, con una velocidad angular ω. La velocidad del punto A es conocida y enunciada por el vector VA. Se desea conocer la velocidad de los puntos B y C . Esto, desde luego , puede efectuarse según el método del Art. 5.1, pero esta discusión está basada en el principio esbozado en el párrafo anterior.

Mientras el eslabón gira, el punto B gira alrededor del punto A Con la misma velocidad angular (en ambas magnitud y dirección ) mientras A gira alrededor del pivote O. Esto se ilustra en la fig.b donde el eslabón es trasladado a través de 90° en relación a su posición en la fig.a Debe tomarse en cuenta que B ahora esta debajo de A mas bien que su propia derecha, en otras palabras, ha girado alrededor de A a través del mismo ángulo que A ha girado alrededor de O. Esto se puede aclarar marcando las letra en un pedazo de papel el cual representa el eslabón y pivoteándolo entre los dedos en el punto O. Para la posición ilustrada en la Fig. a, la velocidad del punto B relativa al punto A está en un dirección vertical.

Empleando este hecho y los principios básicos establecidos arriba podemos trazar el diagrama de imagen de velocidad, ilustrado en la fig.c Las líneas sobre este diagrama están enumeradas en el mismo orden en que fueron trazadas. Una tabla explicativa indica la dirección de las líneas y lo que estas representa, se muestra en la fig.d Del punto considerado o “polo” o, trazamos la línea oa perpendicular a OA, representando VA(igual a ωOA) a cualquier escala de velocidad conveniente . La velocidad relativa de B hacia A (VB/A), actúa en un dirección perpendicular a AB. La velocidad absoluta tiene una dirección perpendicular a una línea desde B hasta O. De ahí , desde el polo o , tracemos la línea 3 perpendicular a la línea OB de la Fig. 5.11a. Esta encuentra la línea 2 en el punto b, y ob representa la velocidad absoluta del punto B en la misma escala que oa representa la velocidad del punto A. También, ab, o la línea 2 en la fig. 5.11c, representa a la misma escala la velocidad del punto B relativo al punto A . Nótese que ba es la velocidad del punto A relativo al punto B; en otras palabras, tienen la misma magnitud pero en dirección opuesta.

Si el proceso se continúa por el trazo de la líneas 4,5 y 5 como fue esbozado en la tabulación (fig.d) encontramos todas las velocidades absolutas y relativas. Se debe observar que solamente es necesario calcular o conocer una velocidad, y el resto se determina por la dirección de varias líneas. Esto es cierto, ya que la velocidad angular del eslabón es la misma para todos los puntos alrededor de unos de otros, como se ha mostrado arriba. También debe notarse que el diagrama es geométricamente similar al eslabón original, pero girado en la dirección de rotación a través de 90°. Por lo tanto, si el eslabón original es girado 90° y la escala de velocidad se elige el eslabón original es girado 90°, y la escala de velocidad se elige en forma adecuada, automáticamente tenemos el diagrama de velocidad.

Debe notarse que cualquier línea que se origina en el polo o es una velocidad absoluta
(es decir, relativa al eslabón fijo), mientras las líneas entre los otros dos puntos representan
la velocidad de uno de estos punto relativos al otro.

Ejemplo. En la cadena cuadrangular de la Fig.2a, el eslabón AB gira con una velocidad angular constante ω2/1. Se requiere encontrar las velocidades absolutas de los puntos B, C y E en el eslabón adjunto. La velocidad del punto B se puede calcular, ya que es igual a ω2/1 AB. Además actúa en una dirección perpendicular a AB. Esta velocidad la trazamos a alguna escala conveniente como la línea 1 del polo o en la fig.2b el movimiento del punto C relativo a B es un una dirección perpendicular a BC; por eso desde b, trazamos la línea 2 en esa dirección.

La velocidad absoluta del punto C es una normal al eslabón CD; entonces trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular a CD para intersectar la línea 2 en c. De esta forma la línea 3 o sea oc, es la velocidad absoluta del punto C, de donde la línea 2, o sea bc, es la velocidad del punto C relativo al punto B.

La velocidad del punto E relativo a C es perpendicular a una línea CE y se traza desde el punto c (línea 4), mientras que la velocidad del punto E relativa a B es perpendicular a una línea BE y es proyectada desde el punto b (línea 5), la intersección de las líneas 4 y 5 localiza el punto e. Una línea desde o hasta e nos da la velocidad absoluta del punto E (línea 6). La dirección de la velocidad del punto E se puede cotejar localizando el centro instantáneo O31. La línea 6 debe de ser perpendicular a una línea desde su centro hasta el punto E. Los número en las líneas de la imagen indican el orden en que fueron trazadas, y la tabulación da su dirección y significado.

*Imagen de aceleraciones

Esta basada en el mismo principio general referente a las aceleraciones y su construcción es similar a la de las imágenes de velocidad antes mencionadas. Se puede establecer como sigue: Para dos untos A y B en un cuerpo con movimiento coplanario, la aceleración absoluta de B es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A y la aceleración de B relativa a A. Expresado vectorialmente:

aB = aA + aB/A

El punto P (Fig) sobre un cuerpo en movimiento alrededor del centro instantáneo O, está sujeto a una aceleración tangencial at que actúa tangencialmente al movimiento y una aceleración normal an que actúa hacia el centro de curvatura, de donde siendo ω y α respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del punto P. La distancia PB representa la aceleración a y es igual a la suma vectorial at y an.

Si el punto O es un punto fijo, entonces PB es la aceleración absoluta del punto P. Si, de cualquier forma, los dos P y O están en movimiento, entonces PB es la aceleración relativa de P
con respecto a O.

Construcción gráfica de la aceleración normal

Cuando la velocidad de un punto relativa a un segundo punto en un mismo cuerpo es conocida, y
también su distancia al otro punto, entonces la aceleración normal relativa se puede encontrar
gráficamente.

En la fig, sea AO la distancia (S) entre los puntos A y O a una escala de 1 cm = k m. También permitámonos que AB a 90° con AO representen la velocidad (VA/O) a una escala de 1 cm = m m/seg de este modo S = kAO m y VA/O = mAB m/seg, donde AO y AB son unidades en cm.

Ahora la aceleración relativa normal de A hacia O es

(VA/O)2/s = (m AB)2/kao = m2(AB)2/kao

En la fig trazamos BC perpendicular a BO, encontrando OA y alargándola hasta C. Por los
triangulo semejantes CAB y BAO.

CA /AB= AB/AO o CA = (AB)2/AO

La aceleración normal de A es por lo tanto igual a (m2/k)CA. En otras palabras CA representa la
aceleración a una escala de 1 cm = n m/seg2 de donde n = m2/k o sea m = √ kn

Aceleración Coriolis

El método de imagen para determinar aceleración es aplicable únicamente para localizar puntos
en un cuerpo rígido. Con referencia al mecanismo de cuadro articulado de la fig. 5.18a, podemos
escribir la ecuación vectorial.

aQ/1 = aP/1 + aQ/P = anP/1 + atP/1 + anQ/P + atQ/P

Escribiendo esta ecuación que es la base para la imagen de aceleración, estamos tratando
únicamente con puntos localizados en el eslabón rígido 3.

Ocasionalmente surgen problemas en los cuales es necesario encontrar la aceleración de puntos que no están en el mismo cuerpo rígido. Para tales problemas es necesario emplear la ley de Coriolis. Para ilustrarla, supongamos que el punto Q sobre el cuerpo 3, se esta moviendo a lo largo de una trayectoria curva CD sobre el cuerpo 2, conforme el cuerpo 2 gira alrededor del punto O (Véase fig. 5.18b). El punto P sobre el cuerpo 2 en el instante considerado se encuentre directamente debajo del punto Q; en otras palabras, es coincidente con él. El radio de curvatura de la trayectoria CD, es R. La aceleración del punto Q relativa al punto P queda indicada por la ecuación vectorial:

La aceleración normal de Q relativa a P, que cambie la dirección de la velocidad relativa V Q/P es
an Q/P = V2Q/P / R = Rω23/2 y actúa sobre el centro de curvatura A de la trayectoria CD, que Q proyecta sobre el cuerpo 2. Si no hay cambio en la dirección de VQ/P, el radio R está en el infinito, y la aceleración normal relativa es igual a cero. La dirección de la aceleración tangencial
de Q relativa a P, que cambia la magnitud de la velocidad relativa VQ/P es paralela al vector VQ/P y actúa en la dirección α3/2 . La dirección de la acción del vector Coriolis 2VQ/Pω2/1 se encuentra por la rotación de 90° del vector VQ/P y actúa en la misma dirección como ω2/1. Si la aceleración del punto P en el cuerpo 2 es conocida o se puede localizar, la aceleración del punto Q entonces nos es dada por la ecuación vectorial:

aQ/1 =aP/1 + aQ/P = anP/1 + atP/1 + anQ/P + atQ/P + 2VQ/P ω2/1

En algunos casos no coinciden los puntos en los cuerpos. Entonces es necesario para propósitos
de análisis, considerar que uno de los cuerpos se extienda para obtener un punto coincidente. Los
principios acabados de esbozar, y el concepto físico de la acción que está sucediendo.