Contactos con Rodamiento

Condiciones para contactos con rodamiento

Cuando dos cuerpo se mueven el uno con respecto al otro de tal manera que no existe movimiento relativo en el punto de contacto se dice que los cuerpos tienen contacto con rodamiento puro. Se deduce que los puntos en contacto tienen, en un instante, la misma velocidad relativa a un tercer cuerpo. Es más, según el Teorema de Kennedy el centro instantáneo de los dos cuerpos se encuentra localizado en el punto de contacto.

Cuando dos cuerpos en contacto con rodamiento punto, giran con relación a un centro instantáneo o permanente sobre un tercer cuerpo, el punto de contacto siempre debe de coincidir sobre una línea recta que une estos centros. Esto puede mostrarse refiriéndonos a la Fig en la cual 2 y 3 tienen contacto con rodamiento y giran con relación a los centros O21 y O31 respectivamente, P es el punto de contacto en ese instante y en vista de que en este punto no existe movimiento relativo, P es el centro instantáneo O23. Según el teorema de Kennedy O21O31 y O23 coinciden sobre una misma línea recta.

Se ha mostrado que el punto de contacto de un par de cuerpos con rodamiento se encuentran localizados en una línea que une sus centros instantáneos o de pivoteo. Vamos a considerar el caso cuando dos cuerpos giran con relacion a centros de pivoteo fijos y tienen contacto con rodamiento puro. En la Fig O21 y O23 se convierten ahora en los centros permanentes así como también en centros instantáneos. Si elegimos cualquier punto Q sobre el perfil del cuerpo 2, medimos las distancias del perfil desde P hasta Q, y trazamos una distancia igual a PQ´ sobre el perfil de 3, entonces evidentemente, cuando los cuerpos giran en algún instante Q y Q´ coincidirán, si no fuera de esta forma habría ocurrido un deslizamiento. En vista de que Q y Q´ se encuentran sobre la línea de O21 y O31.

O21Q+Q´O31=O21P+PO31=D

Donde D es la distancia entre los centros permanentes. Por esta razón, los cuerpos de cualquier forma pueden tener contacto con rodamiento puro; pero éstos tendrán una distancia fija entre sus centros de rotación y por tanto es posible que giren sobre sus centros permanentes en un tercer cuerpo, solamente cuando se cumple la condición establecida por la ecuación. Esta condición es que la suma de los radiantes de cualquier par de puntos que hacen contacto con rodamiento puro debe ser constante.

Relación de velocidad angular

En la Fig. dos cuerpos en contacto con rodamiento harán contacto por un instante en el punto P. Si Vp es la velocidad lineal para el punto común y si consideramos p como un punto en 2, Vp = ω21 x OP.

Considerando P como un punto en 3, encontramos Vp,= ω31 x O´P. Entonces ω21 x OP = ω31x
o´p, o sea

ω31/ω21 = OP/O´P

Es obvio que en el caso considerado los cuerpos 2 y 3 giran en sentidos opuestos. Si las dos rotaciones se consideran como positivas y negativas respectivamente, la relación de velocidad llevará un signo negativo.

Solamente fueron consideradas condiciones instantáneas; consecuentemente los puntos O y O´ en la fig únicamente necesitan ser centros de pivoteo instantáneos y no necesariamente centros de pivoteo fijos.

La ecuación anterior establecida en palabras quiere decir que la relación de velocidad de una par de cuerpos haciendo contacto con rodamiento es inversamente proporcional a la distancia desde su punto de contacto hasta sus respectivas centros de pivoteo. Cuando el punto de contacto cae entre sus centros de pivoteo, deben girar en sentidos opuestos. Cuando cae a un lado de los dos centros de pivoteo lo contrario es lo cierto.

Para una relación de velocidad constante, OP y O´P deben tener una relación constante, lo cual es verdad únicamente cuando P ocupa una posición fija sobre la línea de cetros. Un par de círculos son las únicas curvas que llenan esta condición; por consiguiente, los cuerpos que giran juntos con una relación de velocidad constante, deben tener secciones circulares perpendiculares a sus ejes de giro, y estos cuerpos tendrán velocidades inversamente proporcionales a sus radios.

Transmisiones friccionales

Las transmisiones fricciónales se pueden definir como aquellas en las cuales la fuerza se puede trasmitir por el contacto con rodamiento de loe elementos accionado y motriz. La fricción depende únicamente en una anulación apreciable del deslizamiento. Hay aplicaciones prácticas de mecanismos conectados con rodamiento. Las ruedas cilíndricas con contacto interno o externo se emplean comúnmente para la conexión de dos flechas paralelas. Se emplean ruedas hechas en forma de conos truncados para conectar dos flechas que se cruzan o interceptan.

Prácticamente cuando se efectúa una trasmisión de fuerza empleando el sistema friccional, esta sujeta a que ocurra una cierta cantidad de resbalamiento. Este tipo de trasmisión rinde mejor servicio para trabajos ligero. Es necesario un presión pesada en el contacto cuando se trasmite una gran cantidad de potencia; esto tiende a causar pérdidas por fricción y desgaste en los cojinetes de los ejes de las ruedas, así como también en las superficies de contacto.

Con el propósito de incrementar la fuerza que debe de ser trasmitida por las ruedas de fricción para una determinada presión de contacto, algunas veces las ruedas vienen suministradas con una ranuras circunferenciales en forma de v. Fácilmente se puede demostrar que de cualquier forma, ese tiempo de construcciones rinde un contacto con rodamiento puro imposible y por esto, tiene a aumentar el desgaste y las pérdidas por fricción.

Disco y rodillo

Algunas veces se emplea una trasmisión de fricción de la forma mostrada en la Fig cuando se desea obtener una relación de velocidad que se puede cambiar al gusto.

El rodillo 2 usualmente es el motriz, efectuando un contacto friccional con el accionado, que es el disco 3. El rodillo 2 esta motado de tal forma que se puede correr en una dirección axial y por consiguiente se mueve en una línea paralela a la superficie del disco. La relación de velocidad de las ruedas motriz y accionada depende de su posición. La inversión del sentido de rotación se efectúa moviendo 2 al lado opuesto del eje del disco. Un hueco en el centro del disco causa que los dos miembros rompan el contacto cuando 2 queda en la posición centra, obteniendo un punto “neutro” en el cual no se obtienen trasmisión.

Ocurre rodamiento pudo únicamente cuando 2 no tienen un espesor considerable y por consiguiente hace contacto en un punto. Una condición de este tipo en una máquina práctica solamente se podría establecer si la fuerza que se trasmite es muy pequeña. Un rodillo ancho con línea de contacto dará un contacto con rodamiento pudo en su punto central o cerca de él, aumentado la velocidad de resbalamiento conforme se aproximen los bordes. Esto tiende a ocasionar un desgaste rápido en los lados. Si P (en Fig) es el punto de contacto en el cual


ocurre rodamiento puro, entonces Vp, es la misma cuando se calcula de la velocidad angular de
cualquier cuerpo, Por esto:

vp=ω2 x r2=ω3 x r3 o sea ω2/ω3= r3/r2

Entonces si ω2 es constante ω3 tendrá su valor máximo cuando r3 sea mínimo , y su valor
mínimo cuando r3 sea máximo.

Estos radios se pueden elegir para dar un margen requerido de velocidades. P, el punto con rodamientos puro, generalmente se considera localizado al centro de la cara de la rueda 2.

Construcción del perfil

La siguiente construcción aproximada su puede emplear para encontrar el perfil de un cuerpo que requiere un contacto con rodamiento puro con un segundo cuerpo de forma conocida, considerando que ambos cuerpos oscilan con relación a centros permanentes. La construcción esta basada en las propiedades de los cuerpos con rodamientos.

Consideremos que 2 ( Fig) sea el cuerpo de forma conocida y que oscila alrededor de O, y supongamos que se requiere encontrar el perfil de un segundo cuerpo 3, que oscila alrededor de O´ y que fijara con el cuerpo dado 2. Uniendo O y O´ localizamos P, que debe de ser el punto de contacto en la posición dada. Un numero conveniente de puntos a, b, c, etc... se eligen sobre el perfil de 2.

Para localizar el punto a´ sobre 3, que hará contacto con a cuando los cuerpos giren conjuntamente, trazamos un arco con O como centro y con un radio Oa que intersecta OO´ en A.

Entonces con O´ como centro y con un radio O´A trazamos el arco Aa´, lo cual satisface la condición que la suma de los radios a los puntos correspondientes debe ser constante e igual a OO´. Una segunda condición es que la distancia de los arcos Pa y Pa´ deben ser iguales para evitar el resbalamiento. Así pues, trazamos un arco con su centro en P y con un radio Pa para intersectar el arco Aa´en a´. Entonces las distancia de los arcos Pa y Pa´son aproximadamente iguales, y los puntos a y a´ coincidirán durante la oscilación. De una forma semejante se puede encontrar el punto b´ trazando el arco bB teniendo su centro en O, después el arco Bb´con su centro en O´, y finalmente un arco con su centro en a´y con un radio ab ( del cuerpo 2) para intersectar el arco Bb´en b´. Finalmente se traza una curva uniforme por los puntos P, a´, b´, c´ etc. Esta construcción se vuelve exacta cuando los puntos a,b,c, se encuentran separados a una distancia infinitesimal.

Rodamiento de dos elipses iguales

Se puede demostrar que las elipses iguales, inicialmente instaladas como en la Fig con todos
sus focos coincidiendo sobre una misma línea recta, y cada una girando sobre uno de sus focos,
tienen contacto con rodamiento puro.

Si O y O´ designan los focos que son centros de rotación, la distancia entre estos puntos obviamente es igual al eje mayor de cualquiera de las elipses. Se debe mostrar que la suma de los radios a cualquier par de puntos a los cuales lleguen a un contacto las curvas en rotación, es constante.

Empleando la posición inicial de contacto P como centro y cualquier radio, trazamos un arco que corta las curvas en 1 y 1´. Como las cuerdas P1 y P1´ son iguales, resulta evidente de la simetría de la figura, que los arcos elípticos P1 y P1´ tienen la misma longitud. Por lo anterior, el rodamiento puro hará que 1 y 1´ se unan. Debemos mostrar que O1+´1´es igual a OO´. Si R, R´ son los otros dos focos, de las propiedades delas elipses, conocemos que O1+1R es igual al eje mayor. Pero en vista de que las elipse son iguales en todos respectos, 1R=O´1. por esto:

O1+O´1¨=O1+1R= eje mayor =OO'

Velocidad y Aceleracion

Debido a que el movimiento es inherente a las máquinas, las cantidades cinemáticas como la velocidad y la aceleración son de importancia para la ingeniero en el análisis y diseño de los componentes de las máquinas. Los valores cinemáticos en las máquinas han alcanzado magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotación, que una vez se consideraron altas a un
valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.

Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las ruedas de turbinas pequeñas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.

El tamaño de los rotores y su velocidad de rotación se relacionan en tal forma que a menor tamaño mayor será la velocidad de rotación permitida. Una cantidad más básica en los rotores es la velocidad periférica, la cual depende de la velocidad de rotación y el tamaño (V = ωR). Las velocidades periféricas en las turbomáquinas están llegando a valores de 50 000 a 100 000 pies/min. Las velocidades periféricas en las armaduras eléctricas (10 000 pies/min) y en los cigüeñales automotrices (3 000 pie/min) son más bajas que en los rotores aeronáuticos.

Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayor estasas de productividad en las máquinas que se emplean para impresión, fabricación de papel, hilado, computación automática, empaque, embotellado, maquinado automático y muchas otras
aplicaciones.

La aceleración centrípeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de
rotación y del tamaño (An = (ω2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se están aproximando a valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que pueden compararse con la aceleración de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que soportan los pistones automotrices.

La aceleración se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su
vez con el esfuerzo y la deformación, que pueden o no ser críticos en una pieza de una máquina,
dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una máquina está limitada en última
instancia por las propiedades de los materiales de que está formada y las condiciones que
influyen en las propiedades de los materiales empleados.

Las altas temperaturas que se dan por la compresión de los gases y la combustión de los combustibles, junto con las que se dan como resultado de la fricción, son una condición que influye en la resistencia de los materiales de las máquinas de potencia de alta velocidad. El grado en que se eleva la temperatura también depende de las medidas que se tomen para la transferencia de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.

El buen diseño de una máquina depende de la explotación del conocimiento en los campos de la
dinámica, el análisis de esfuerzos, la termodinámica, la transmisión de calor y las propiedades de
los materiales.

Sin embargo, el propósito de este capítulo es estudiar solamente las relaciones cinemáticas en las
máquinas.

Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores
cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas
( V = ωR, An = ω2R, At = αR ).

Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son
combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miembros
oscilatorios y reciprocantes.

Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las
muchas posiciones relativas geométricas que se pueden dar, el análisis cinemático de un mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor. Los principios y métodos que se ilustran en este capítulo son principalmente los que se emplean
para el análisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores, barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.

En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son
cuerpos rígidos en que las distancias entre dos partículas dadas de un eslabón móvil, permanecen fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen
dentro de otra categoría y se analizan como miembros vibratorios.

La mayoría de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden
analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partículas se mueven en planos
paralelos se dice que están en movimiento plano o coplanarios.

El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las
aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón.

Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede expresarse en términos de los
desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de líneas que
se mueven con el eslabón rígido.

Existen muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, losque se emplean comúnmente son:

a) análisis de velocidad por centros instantáneos.

b) análisis de velocidad por método de resolución.

c) análisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea
analítica o gráficamente por medio de polígonos de velocidad y aceleración (método de
imagen).

d) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y
aceleración de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema móvil de
coordenadas

e) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.
De los métodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto físico del
problema. El quinto método que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse
demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos se pierden rápidamente.
Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto método se presentan para soluciones por
computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo
completo. Particularmente en este capítulo se analizaran los tres primeros métodos.

Velocidades de los centros instantáneos

Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en él será en una
dirección perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al radio rp y tiene una magnitud vp = ω2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =ω2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se produce: vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp ).

Cuando la velocidad de una punto sobres un cuerpo es conocida y representados por un vector,
muy frecuentemente se desea encontrar gráficamente la velocidad de otro punto sobre el mismo
cuerpo, en la fig. 5.1 tómese en cuenta que la velocidad del punto P es conocida y representada
por el vector vp se desea encontrar la velocidad del punto Q. Con O como centro y con el radio
OP, o rp, se traza un arco cortando OQ, alargado, si el necesario, hasta S. Como S y P están a la
misma distancia del centro de rotación, sus velocidades son de igual magnitud, pero de dirección
diferente. El vector ST, trazando perpendicular a OS, se iguala a la longitud del vector Vp. Este
es marcado V´p, ya que representa la magnitud de la velocidad de P, pero no en su dirección
correcta, trazando la línea OT y el vector QW perpendicular a OQ o rQ obtenemos los triángulos
semejantes OQW y OST. De donde:

QW/ST = OQ/OS o VQ/Vp= rQ/rp

Que comparada con la ecuación 5.1, QW representa la velocidad del punto Q en la misma
magnitud que ST representa la velocidad del punto P.

El mismo resultado podría obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X
en la línea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos otra vez dos triángulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector XZ es marcado V´Q ya que es la magnitud Vq, pero no su dirección correcta. Girando este vector alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado solamente condiciones instantáneas, esta construcción grafica es aplicable cuando el punto sobre el que gira el cuerpo es un centro instantáneos o un centro permanente.

Puntos en diferentes eslabones.

Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabónde un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabón. Comúnmente se dispone de varios métodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos métodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee un método para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos métodos.

Antes de esbozar los métodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantáneos
como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabón fijo 1 y por lo tanto tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12 O13 y O 14.

Velocidades angulares

Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades angulares instantáneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la distancias desde su centro instantáneo común, a los centros instantáneos sobre los cuales están pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantáneos O21O23 y O31 se consideran localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy.

O23 es un punto común para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantánea es igual a ω2/1(O23O21). Como es también un punto en 3, se está movimiento con una velocidad lineal ω3/1(O23O31).

Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse gráficamente. La construcción queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que ω2/1 es conocida y que ω3/1 se tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ángulo conveniente) a O31 O21 con una longitud que represente a ω2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta líneas hasta encontrar O21M, paralela a O31L. Por triángulos semejantes

O21M/O31L= O23O21/O23O31 = ω3/1/ω2/1

Por lo tanto, O21M representa a ω3/1 a la misma escala que O31L representa a ω2/1. Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en la misma extensión de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.

Ejemplo. Las fig muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(ω2/1) es conocida, encontrar gráficamente la velocidad angular del eslabón 4(ω4/1).

Construcción. Encuentren los tres centro instantáneos de los eslabones 1, 2 y 4. Estos centros coinciden sobre una misma línea recta según el teorema de Kennedy. Dibujemos el triángulo LO41O24 en el cual O41L, perpendicular a O41O24, representa la velocidad angular conocida ω4/1 requerida.

Método de imagen

Consideraremos ahora un método gráfico para determinar las velocidades y aceleraciones de puntos en los mecanismos, el cual ha probado tener una aplicación muy amplia y una importancia práctica muy considerable. Este método generalmente conocido como el “método de imagen”, esta descrito en Kinematik del profesor Burnester. La construcción en un diagrama de aceleración, comúnmente requiere la determinación anterior de cierta velocidades; por esto discutiremos en primer lugar este último problema.

*La imagen de velocidad

Si hay dos puntos A y B sobre un cuerpo con movimiento coplanario, entonces la velocidad absoluta de B es igual a la suma vectorial de la velocidad absoluta de A y la velocidad relativa de B con respecto a A. El método “imagen de velocidad” esta basado en lo anteriormente establecido. Expresado vectorialmente :

VB = VA + VB/A

Consideremos un eslabón como el ilustrado en la Fig , pivoteando en O y conteniendo tres puntos A, B y C y girando en el sentido de la manecillas del reloj, con una velocidad angular ω. La velocidad del punto A es conocida y enunciada por el vector VA. Se desea conocer la velocidad de los puntos B y C . Esto, desde luego , puede efectuarse según el método del Art. 5.1, pero esta discusión está basada en el principio esbozado en el párrafo anterior.

Mientras el eslabón gira, el punto B gira alrededor del punto A Con la misma velocidad angular (en ambas magnitud y dirección ) mientras A gira alrededor del pivote O. Esto se ilustra en la fig.b donde el eslabón es trasladado a través de 90° en relación a su posición en la fig.a Debe tomarse en cuenta que B ahora esta debajo de A mas bien que su propia derecha, en otras palabras, ha girado alrededor de A a través del mismo ángulo que A ha girado alrededor de O. Esto se puede aclarar marcando las letra en un pedazo de papel el cual representa el eslabón y pivoteándolo entre los dedos en el punto O. Para la posición ilustrada en la Fig. a, la velocidad del punto B relativa al punto A está en un dirección vertical.

Empleando este hecho y los principios básicos establecidos arriba podemos trazar el diagrama de imagen de velocidad, ilustrado en la fig.c Las líneas sobre este diagrama están enumeradas en el mismo orden en que fueron trazadas. Una tabla explicativa indica la dirección de las líneas y lo que estas representa, se muestra en la fig.d Del punto considerado o “polo” o, trazamos la línea oa perpendicular a OA, representando VA(igual a ωOA) a cualquier escala de velocidad conveniente . La velocidad relativa de B hacia A (VB/A), actúa en un dirección perpendicular a AB. La velocidad absoluta tiene una dirección perpendicular a una línea desde B hasta O. De ahí , desde el polo o , tracemos la línea 3 perpendicular a la línea OB de la Fig. 5.11a. Esta encuentra la línea 2 en el punto b, y ob representa la velocidad absoluta del punto B en la misma escala que oa representa la velocidad del punto A. También, ab, o la línea 2 en la fig. 5.11c, representa a la misma escala la velocidad del punto B relativo al punto A . Nótese que ba es la velocidad del punto A relativo al punto B; en otras palabras, tienen la misma magnitud pero en dirección opuesta.

Si el proceso se continúa por el trazo de la líneas 4,5 y 5 como fue esbozado en la tabulación (fig.d) encontramos todas las velocidades absolutas y relativas. Se debe observar que solamente es necesario calcular o conocer una velocidad, y el resto se determina por la dirección de varias líneas. Esto es cierto, ya que la velocidad angular del eslabón es la misma para todos los puntos alrededor de unos de otros, como se ha mostrado arriba. También debe notarse que el diagrama es geométricamente similar al eslabón original, pero girado en la dirección de rotación a través de 90°. Por lo tanto, si el eslabón original es girado 90° y la escala de velocidad se elige el eslabón original es girado 90°, y la escala de velocidad se elige en forma adecuada, automáticamente tenemos el diagrama de velocidad.

Debe notarse que cualquier línea que se origina en el polo o es una velocidad absoluta
(es decir, relativa al eslabón fijo), mientras las líneas entre los otros dos puntos representan
la velocidad de uno de estos punto relativos al otro.

Ejemplo. En la cadena cuadrangular de la Fig.2a, el eslabón AB gira con una velocidad angular constante ω2/1. Se requiere encontrar las velocidades absolutas de los puntos B, C y E en el eslabón adjunto. La velocidad del punto B se puede calcular, ya que es igual a ω2/1 AB. Además actúa en una dirección perpendicular a AB. Esta velocidad la trazamos a alguna escala conveniente como la línea 1 del polo o en la fig.2b el movimiento del punto C relativo a B es un una dirección perpendicular a BC; por eso desde b, trazamos la línea 2 en esa dirección.

La velocidad absoluta del punto C es una normal al eslabón CD; entonces trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular a CD para intersectar la línea 2 en c. De esta forma la línea 3 o sea oc, es la velocidad absoluta del punto C, de donde la línea 2, o sea bc, es la velocidad del punto C relativo al punto B.

La velocidad del punto E relativo a C es perpendicular a una línea CE y se traza desde el punto c (línea 4), mientras que la velocidad del punto E relativa a B es perpendicular a una línea BE y es proyectada desde el punto b (línea 5), la intersección de las líneas 4 y 5 localiza el punto e. Una línea desde o hasta e nos da la velocidad absoluta del punto E (línea 6). La dirección de la velocidad del punto E se puede cotejar localizando el centro instantáneo O31. La línea 6 debe de ser perpendicular a una línea desde su centro hasta el punto E. Los número en las líneas de la imagen indican el orden en que fueron trazadas, y la tabulación da su dirección y significado.

*Imagen de aceleraciones

Esta basada en el mismo principio general referente a las aceleraciones y su construcción es similar a la de las imágenes de velocidad antes mencionadas. Se puede establecer como sigue: Para dos untos A y B en un cuerpo con movimiento coplanario, la aceleración absoluta de B es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A y la aceleración de B relativa a A. Expresado vectorialmente:

aB = aA + aB/A

El punto P (Fig) sobre un cuerpo en movimiento alrededor del centro instantáneo O, está sujeto a una aceleración tangencial at que actúa tangencialmente al movimiento y una aceleración normal an que actúa hacia el centro de curvatura, de donde siendo ω y α respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del punto P. La distancia PB representa la aceleración a y es igual a la suma vectorial at y an.

Si el punto O es un punto fijo, entonces PB es la aceleración absoluta del punto P. Si, de cualquier forma, los dos P y O están en movimiento, entonces PB es la aceleración relativa de P
con respecto a O.

Construcción gráfica de la aceleración normal

Cuando la velocidad de un punto relativa a un segundo punto en un mismo cuerpo es conocida, y
también su distancia al otro punto, entonces la aceleración normal relativa se puede encontrar
gráficamente.

En la fig, sea AO la distancia (S) entre los puntos A y O a una escala de 1 cm = k m. También permitámonos que AB a 90° con AO representen la velocidad (VA/O) a una escala de 1 cm = m m/seg de este modo S = kAO m y VA/O = mAB m/seg, donde AO y AB son unidades en cm.

Ahora la aceleración relativa normal de A hacia O es

(VA/O)2/s = (m AB)2/kao = m2(AB)2/kao

En la fig trazamos BC perpendicular a BO, encontrando OA y alargándola hasta C. Por los
triangulo semejantes CAB y BAO.

CA /AB= AB/AO o CA = (AB)2/AO

La aceleración normal de A es por lo tanto igual a (m2/k)CA. En otras palabras CA representa la
aceleración a una escala de 1 cm = n m/seg2 de donde n = m2/k o sea m = √ kn

Aceleración Coriolis

El método de imagen para determinar aceleración es aplicable únicamente para localizar puntos
en un cuerpo rígido. Con referencia al mecanismo de cuadro articulado de la fig. 5.18a, podemos
escribir la ecuación vectorial.

aQ/1 = aP/1 + aQ/P = anP/1 + atP/1 + anQ/P + atQ/P

Escribiendo esta ecuación que es la base para la imagen de aceleración, estamos tratando
únicamente con puntos localizados en el eslabón rígido 3.

Ocasionalmente surgen problemas en los cuales es necesario encontrar la aceleración de puntos que no están en el mismo cuerpo rígido. Para tales problemas es necesario emplear la ley de Coriolis. Para ilustrarla, supongamos que el punto Q sobre el cuerpo 3, se esta moviendo a lo largo de una trayectoria curva CD sobre el cuerpo 2, conforme el cuerpo 2 gira alrededor del punto O (Véase fig. 5.18b). El punto P sobre el cuerpo 2 en el instante considerado se encuentre directamente debajo del punto Q; en otras palabras, es coincidente con él. El radio de curvatura de la trayectoria CD, es R. La aceleración del punto Q relativa al punto P queda indicada por la ecuación vectorial:

La aceleración normal de Q relativa a P, que cambie la dirección de la velocidad relativa V Q/P es
an Q/P = V2Q/P / R = Rω23/2 y actúa sobre el centro de curvatura A de la trayectoria CD, que Q proyecta sobre el cuerpo 2. Si no hay cambio en la dirección de VQ/P, el radio R está en el infinito, y la aceleración normal relativa es igual a cero. La dirección de la aceleración tangencial
de Q relativa a P, que cambia la magnitud de la velocidad relativa VQ/P es paralela al vector VQ/P y actúa en la dirección α3/2 . La dirección de la acción del vector Coriolis 2VQ/Pω2/1 se encuentra por la rotación de 90° del vector VQ/P y actúa en la misma dirección como ω2/1. Si la aceleración del punto P en el cuerpo 2 es conocida o se puede localizar, la aceleración del punto Q entonces nos es dada por la ecuación vectorial:

aQ/1 =aP/1 + aQ/P = anP/1 + atP/1 + anQ/P + atQ/P + 2VQ/P ω2/1

En algunos casos no coinciden los puntos en los cuerpos. Entonces es necesario para propósitos
de análisis, considerar que uno de los cuerpos se extienda para obtener un punto coincidente. Los
principios acabados de esbozar, y el concepto físico de la acción que está sucediendo.

Centros Instantáneos

Los eslabones con movimiento coplanario se pueden dividir en tres grupos: (a) aquellos con
movimiento angular sobre un eje fijo; (b) aquellos con movimiento angular, pero que no están
sobre un eje fijo; (c) Aquellos con movimiento lineal, pero sin movimiento angular. Todos estos
movimientos pueden ser estudiados mediante el uso de centros instantáneos.

Este concepto se basa en el hecho de que un par de puntos coincidentes en dos eslabones en
movimiento en un instante dado tendrán velocidades idénticas en relación a un eslabón fijo y, en
consecuencia, tendrán una velocidad igual a cero entre sí. Por razones cinemáticas no tomaremos
en cuenta el espesor de los cuerpos perpendiculares al plano de movimiento y trataremos con las
proyecciones de los cuerpos en este plano.

El centro instantáneo se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras:


A) Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo coplanario, el centro instantáneo es un
punto en un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante considerado.

B) Cuando dos cuerpos tiene movimiento relativo coplanario, el cetro instantáneo es el
punto en el que los cuerpos están relativamente inmóviles en el instante considerado.

A partir de esto se puede ver que un centro instantáneo es:

(a) un punto en ambos cuerpos,
(b) un punto en el que los dos cuerpos no tienen velocidad relativa y
(c) un punto en el que se puede considerar que un cuerpo gira con relación al otro cuerpo en un
instante dado.

En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su
ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y
describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos. Estas trayectorias de los
centros instantáneos son llamadas trayectorias polares o centrodas y se analizan posteriormente.

Localización de centros instantáneos

Los centros instantáneos son sumamente útiles para encontrar las velocidades de los eslabones
en los mecanismos. Su uso algunas veces nos permiten sustituir a algún mecanismo por otro que
produce el mismo movimiento y mecánicamente es más aprovechable. Los métodos para
localizar los centros instantáneos son, por lo tanto, de gran importancia.


Casos especiales:


a) Cuando dos eslabones en un mecanismo están conectados por un perno, como los eslabones 1
y 2 en la figura. 4.1, es evidente que el punto de pivoteo es el centro instantáneo para todos las
posibles posiciones de los dos cuerpos y es, por esta razón un centro permanente, así como
también un centro instantáneo.

Puesto que se ha adoptado la convención de numerar los eslabones de un mecanismo, es
conveniente designar un centro instantáneo utilizando los números de los dos eslabones
asociados a él. Así pues, O12 identifica el centro instantáneo entre los eslabones 1 y 2. Este
mismo centro se puede identificar como O21, ya que el orden de los números carece de
importancia.


Cuando dos cuerpos resbalan uno sobre el otro, conservando el contacto todo el tiempo , el centro instantáneo deberá de coincidir sobre la perpendicular de la tangente común. Estos se sigue del hecho de que el movimiento relativo Q2 en 2 al punto Q3 , en 3, se encuentra a lo largo de la tangente común xy; de otra forma, las dos superficies se separarían o se encajarían una dentro de otra. El movimiento relativo a lo largo de la tangente común, puede producirse solamente girándolo sobre un centro en algún lugar a lo largo de la perpendicular KL; de aquí el centro instantáneo este en esa línea.

Cuando un cuerpo rueda sobre la superficie de otro, el centro instantáneo es el punto de
contacto, en vista de que en este punto los cuerpos no tienen movimiento relativo.

Teorema de Kennedy

Los centros instantáneos de un mecanismo se pueden localizar por el sistema del teorema de
Kennedy. Este teorema establece que los centros instantáneos para cualesquiera tres cuerpos con movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma línea recta.

Número de centros instantáneos

En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, existe un centro instantáneo para
cada par de eslabones. El numero de centros instantáneos es, por lo anterior, igual al número de
pares de eslabones. Cuando se tienen n eslabones, el número de centros instantáneos es igual al
número de combinaciones de n objetos tomados a un tiempo, a saber n(n-1)/2.

Tabulación de centros instantáneoo

Cuando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el número de centros instantáneos a
localizar. Entonces es aconsejable tener un método sistemático para tabular el progreso y para
que ayude en la determinación. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular
o por el uso de tablas.

a) Diagrama circular. Nos es útil para encontrar centros instantáneos, puesto que nos da una visualización del orden en que los centros se pueden localizar por el método del teorema de Kennedy y también, en cualquier estado del procedimiento, muestra que centros faltan por encontrarse. El diagrama circular será útil paraencontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura . El siguienteprocedimiento se emplea para localizarlos.

Trazamos un círculo como el de la Fig. y marcamos los puntos 1,2,3,4,5 y 6 alrededor de la
circunferencia, representando los seis eslabones del mecanismo. Conforme se van localizando lo
centros, trazamos líneas uniendo los puntos de los números correspondientes en este diagrama.
De este modo, la línea tendrá línea uniendo todos lo pares de puntos; cuando todos los centros
instantáneos hayan sido determinados. Los números en las líneas, indican la secuencia en que
fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del procedimiento (después de que se han encontrado 10 centros) el diagrama aparecería como lo muestra la Fig.

Inspeccionando los diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos triángulos 4-6-5 y 4-6-1 ya que éste es el caso, localizamos el centro instantáneo O46 en la intersección de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar hubiéramos trazado 6-2, solamente un triangulo es decir, el 6-2-1, se habría formado; por esto, el centro O62 no se podría encontrar en este estado; no obstante, su puede encontrar después de que se ha tazado O25 (línea 1-4). Por lo consiguiente, la línea 6-2 se numera 15. El procedimiento es el mismo para los puntos restantes.
Si cada línea se puntea primero, mientras se está localizando el centro y después, cuando se ha
encontrado, se repasa haciéndola una línea sólida, se evitan lo errores. La Fig a muestra la
localización de todos lo centros instantáneos y la Fig el diagrama circular terminado.

b)Método tabular. El método alternativo para localizar centros instantáneos de uso común es elmétodo tabular. En este procedimiento se establece una tabulación general y se amplia contabulaciones suplementarias, tal como está ilustrado en la Fig. 4.En las columnas principales de la tabulación general se enumeran los números de los eslabonesen el mecanismo. En la primera columna se apunta el número de la parte superior dela columna,combinando con aquellos números a la derecha del mismo. En la segunda columna se apunta elnumero de la parte superior de la columna , combinando con aquellos números a la derecha delmismo. Continuando este procedimiento hasta el final delas tablas, nos da la lista completa detodos los centros que han de encontrarse. Conforme los centros se van localizando en el dibujo,se tachan en la tabla, como queda ilustrado. Comúnmente, aproximadamente la mitad de loscentros se encuentran por inspección se tachan inmediatamente. De este modo, en el ejemplodela Fig, ocho de lo centros, el O12 O23 O34 O45 O56 O14 O16 y O35, se encontraron porinspección. El resto tendrían que se localizados empleando el teorema de Kennedy y con la ayudade las tablas suplementarias. Supóngase ahora que deseamos encontrar el centro O31.Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones 1 y 3 se consideran con un tercereslabón, digamos el 4. Entonces los centros O34O14 y O13 deben de coincidir en una línea recta,según el teorema de Kennedy. El tercer eslabón también bajo el encabezado 13. Refiriéndonos ala tabulación general, encontramos que los centros O34 O14 O21 y O23 han sido tachados y por lotanto han sido localizados y están disponibles. Trazando línea a través de ellos localizamos O31.

Mecanismos Articulados

Se refiere al mecanismo formado por eslabones tales como: manivelas, bielas y palancas, unidos mediante pares ya sean giratorios o deslizantes.

Funcion de los Mecanismos Articulados

La función de un mecanismo articulado, es obtener movimiento giratorio, oscilante o deslizante de la rotación de una manivela o viceversa.

Mecanismo de Cuatro barras: Es el mecanismo formado por cuatro eslabones. Véase la figura.

1 = eslabón fijo.
2 = manivela conductora o
Eslabón motor.
3 = biela
4 = eslabón conducido.


Identificacion de los Eslabones

Si la pieza conductora es rígida y gira sobre un eje fijo se le llama manivela conductor o eslabón motor y es donde usualmente, se conoce la velocidad angular W2 (rad/tiempo).

Eslabón 2 = Manivela conductora, véase en la figura anterior.

Cuando dos manivelas tienen el mismo eje y están rígidamente unidas entre si, a la combinación de las dos se les llama palanca.

Cuando la pieza conducida es rígida y se mueve sobre un eje fijo con movimiento oscilante se le llama balancín y si lo hace con movimiento giratorio se le llama manivela conducida. En ambos casos es el eslabón conducido.

Eslabón 4 = Eslabón conducido.

Al eslabón flotante se le llama biela.

Eslabón 3 = biela.

El eslabón fijo es el soporte o bastidor de la máquina.

Eslabón 1 = Eslabón fijo.

Punto Muerto: Es la fase del movimiento, en el cual no se puede continuar la trayectoria, o sea, que el mecanismo se detiene en sus posiciones extremas.

Puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras.

Si la manivela 2, de la figura es el eslabón motor las posiciones B´ y B´´ son puntos muertos.

Existe punto muerto cuando, el balancín o eslabón conducido (4), se encuentra lineal con la biela (eslabón 3). En estos puntos (B´y B´´), el mecanismo tiende a detenerse, debido a que no se trasmiten esfuerzos y se necesita una fuerza externa para continuar el movimiento. Estos puntos deben evitarse.

Mecanismo Contramanivela: Es también un mecanismo de cuatro barras y consiste en dos manivelas con rotación continua; las dos manivelas dan una vuelta completa

Mecanismo Manivela - Biela y Corredera: Es el mecanismo que más se emplea en la actualidad, se aplica en los motores de gasolina, diesel, vapor, bombas, etc.

Sin embargo, existe un caso especial, el cual se representa en la figura

En la figura la corredera describe una trayectoria curva y se comporta como un mecanismo de manivela - biela y balancín.

Mecanismo de Yugo Escoces:Es un mecanismo equivalente al mecanismo de manivela y corredera, donde la biela de longitud infinita es sustituida por una ranura recta. Véase en la figura.

En la figura se indica la dirección del movimiento del punto B, cuando se gira la manivela Q2 A.

El mecanismo de Yugo Escocés, ha sido empleado en pequeños motores y máquinas de vapor.

Mecanismo de Retorno Rapido: Un mecanismo de retorno rápido, se define como aquel en el cual, la carrera de trabajo se realiza despacio y en cambio la de retorno (en vacío), se hace a gran velocidad. Véase en la figura

La figura muestra un mecanismo de retroceso rápido empleado en una máquina limadora.

Para construir el diagrama cinemático se debe tomar el punto (0,0) en una posición extrema del mecanismo, esto con la finalidad de que no existan partes negativas.

Las posiciones extremas de éste mecanismo se encuentran, cuando el balancín (eslabón 4), sea tangente a la circunferencia que describe el movimiento de la manivela (Q2 A) en este caso A´y A´´ , sin embargo, se debe tomar como punto (0,0), el señalado en la figura como A´y no en el A´´, debido al sentido de giro de la manivela y así en el diagrama cinemático se representa primero la carrera de trabajo.

Mecanismo de Linea Recta: Son dispositivos de barras destinadas a conseguir que uno de los puntos del mecanismo siga una línea recta, aproximada o exacta.

tipos:

Mecanismo de Scott Russell: Es un mecanismo formado, por cuatro eslabones.

1 = eslabón fijo

2 = manivela conductora

3 = biela

4 = eslabón conducido (balancín).

Si el punto A de la figura se moviese a lo largo de la línea XX, la trayectoria del punto C, no será exactamente rectilínea pero coincidirá con la línea YY en los puntos C, C´, C´´ (redesviará ligeramente de YY en los puntos intermedios). A medida que aumenta la longitud de la manivela Q2 A, la trayectoria del punto C se va acercando a la línea YY; conviene que Q2 A sea lo más largo posible.

Si Ө y β son iguales a cero la posición del mecanismo es Q2 A´- Q4 B´- C´.
Si β es igual a -10º y Ө -20º , la posición del mecanismo será: Q2 A – Q4 B – C (posición original).
Si β es igual a -10º y Ө igual a 20º , la nueva posición del mecanismo es: Q2 A´´ - Q4 B´´ - C´´.

La convención de signo utilizada en este caso, para representar los ángulos β y Ө es la siguiente:

Cuando se gira el eslabón considerado con respecto al eje X o Y, en el sentido antihorario, el ángulo se considera negativo y cuando se gira en el sentido horario el ángulo se considera positivo.

Consideraciones que se deben cumplir:

- La longitud de la manivela conductora Q2 A, debe ser lo más largo posible.
- Los ángulos β y Ө deben ser pequeños.
- Las distancias AB, Q4B y BC debnen ser iguales (AB = Q4B = BC).

Mecanismo de Watt: Es otro mecanismo formado por cuatro eslabones.

1 = eslabón fijo
2 = manivela conductora (Q2A)
3 = biela (AB)
4 = eslabón conducido (balancín Q4B).

Mecanismo de Robert

La figura muestra otro mecanismo articulado, donde el punto P está unido rígidamente a la biela (AB) y coincide con el punto medio de la línea de centros cuando Q2 Q4 y AB son paralelos. Los eslabones Q2 A y Q4 B pueden girar hacia la derecha hasta que Q2 A y AB estén en prolongación y hacia la izquierda hasta que AB y Q4 B, tambien se coloquen en prolongación una de otra.

Mecanismo de Peaucellier o de Linea Recta Exacta

El punto P de la figura se ve obligado a moverse sobre la línea recta exacta m n, esta afirmación puede probarse al señalar que en cualquier situación del mecanismo, P P´es perpendicular a Q2 P´en P´.

Condiciones que se deben cumplir:

- Q2 A = Q2 B
- AC = CB – BP = PA
- Q4 C = Q2 Q4